Momen kháng uốn của thép hộp

2.3. Mômen quán tính của hình phẳng
2.3.1. Các định nghĩa về mômen quán tính
Giả sử có một hình phẳng có diện tích F, một hệ trục Oxy đi qua trọng tâm của hình
(hình 2.2).

  • Nếu lấy tích phân biểu thức y
    2
    dF, x2
    dF trên toàn bộ diện tích F của hình ta được:
  • J x dF
  • J y dF
  • (2.5)
  • Jx, Jy gọi là mômen quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với trục Ox và Oy.

Nếu lấy tích phân biểu thức x.y.dF trên toàn bộ diện tích của hình, ta có:
xy J x y dF (2. 6)
Jxy gọi là mômen quán tính ly tâm của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục Oxy.
Gọi  là khoảng cách từ vi phân diện tích dF đến điểm O (gốc toạ độ) nằm trong
mặt phẳng của hình (hình 2.2). Lấy tích phân biểu thức ρ dF 2 trên toàn bộ diện tích, ta được:
J0 gọi là mômen quán tính độc cực của hình phẳng đối với điểm O.
Theo hình 2.2 ta có: 2 2 2 ρ  x  y (2.8)
Thay 2.8 vào 2.7 ta có:       
FF FF
2 2 2 2 2
0 J ρ dF (x y )dF y dF x dF
Hay là: 0 x y J  J  J (2.9)
Vậy: Mômen quán tính độc cực của hình phẳng bằng tổng các mômen quán tính
của hình phẳng đối với hai trục vuông góc giao nhau tại điểm đó.
Đơn vị của các loại mômen quán tính kể trên là m4
Các loại mômen quán tính đối với một trục (Jx, Jy) hay đối với một điểm (J0) luôn
luôn có dấu dương vì trong các biểu thức định nghĩa của chúng ta có các bình phương
khoảng cách x, y và . Còn mômen quán tính ly tâm (Jxy) có thể có dấu dương hoặc âm tuỳ
thuộc vào dấu các toạ độ x, y và do đó có thể bằng 0.
Chú ý: Khi xác định mômen quán tính của các hình có dạng phức tạp, ta cũng chia
hình thành các hình đơn giản để tính, sau đó cộng các mômen quán tính của hình đơn giản
hợp thành.
2.3.2. Trục quán tính chính trung tâm
Nếu mômen quán tính ly tâm của một hình đối với một hệ trục Oxy bằng không thì
ta gọi hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính, gọi tắt là hệ trục chính:
Jxy = 0
Người ta cũng chứng minh được rằng với hệ trục quán tính chính Oxy, mômen
quán tính của hình phẳng đối với một trong hai trục đó là cực đại (Jmax) còn đối với trục kia
là cực tiểu (Jmin) so với bất kỳ trục nào khác, đi qua gốc O của hệ trục. Nếu hệ trục chính
có gốc trùng với trọng tâm hình phẳng thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục mômen tĩnh và mômen quán tính ly tâm luôn
bằng không:





 
J 0
S S 0
xy
x y
Mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục chính trung tâm gọi là mômen quán tính
chính trung tâm.
Các hình phẳng có ít nhất một trục đối xứng thì rất dễ dàng xác định được hệ trục
quán tính chính trung tâm. Hệ trục chính trung tâm đó gồm trục đối xứng và trục
trung tâm vuông góc với trục đối xứng. Ta chứng minh điều
này:
Giả sử có hình chữ T (hình 2.3) có trục đối xứng y, trục
trung tâm x vuông góc với y đi qua trọng tâm O của hình. Nếu
xem hình đã cho ghép bởi hai hình A và B thì mômen quán
tính ly tâm của toàn hình là:
B
xy
A
xy xy J  J  J
Trong đó: A
xy J , B
xy J là mômen quán tính ly tâm của hình A và B
đối với hệ trục Oxy.
Ta xét phân tố đối xứng dF. Trên mỗi phần A và B, tung độ y
của phân tố có cùng trị số và dấu. Hoành độ x của phân tố có
cùng trị số dấu nhưng ngược dấu. Do đó sau khi thực hiện tích
phân x.y.dF theo công thức (2.6) trong mỗi phần A và B được:
B
xy
A
xy J  J . Vậy: J J J 0 A
xy
B
xy   xy  
Mặt khác trọng tâm O của mặt cắt nằm trên trục đối xứng y nên từ O nếu vẽ trục x vuông
góc với trục y, ta sẽ có hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình chữ T. Đó
là điều phải chứng minh.
Nếu một hình phẳng có hai hoặc nhiều trục đối xứng thì từ kết quả ta có thể suy ra
rằng hai trục đối xứng vuông góc với nhau tạo thành một hệ trục quán tính chính trung
tâm.
Để giải quyết các bài toán sau này về chịu lực của thanh ta cần phải biết các trục
quán tính chính trung tâm của mặt cắt thanh.
Trong thực tế thường gặp những mặt cắt có trục đối xứng, còn mặt cắt không trục
đối xứng thì ít gặp, nên việc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thường
dễ dàng hơn.

Monmen kháng uốn
2.3. 3. Mômen quán tính của một số hình đơn giản

a. Hình chữ nhật:
y
x
O
dF dF
A B
F F
H×nh 2.3
y
x x
A B
Một hình chữ nhật có chiều dài là h, chiều rộng là b. Hệ trục quán tính chính trung
tâm là Oxy, trong đó trục x song song với cạnh b, trục y song
song với cạnh h (hình 2.4). Ta tính mômen quán tính trung tâm
Jx. Theo công thức định nghĩa, ta có:
 
F
2
x J y dF
Xét một vi phân diện tích dF giới hạn bởi hai đường song
song với trục y và cách nhau bởi một đoạn dy. Diện tích của nó
là:
dF  b.dy
Áp dụng công thức 2.5, ta được:
 
F
2
x J y dF = h/2
h/2
2 3
h
2
h
2
3
y y bdy b 



  . Vậy:
12
bh J
3
x  (2.11)
Đó là công thức tính mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật đối với
trục trung tâm x.
Bằng phương pháp tương tự, ta tính được mômen quán tính của hình chữ nhật đối
với trục trung tâm y:
Jy =
12
3 hb (2.12)
b. Hình tam giác:
Có một hình tam giác, cạnh đáy là b, chiều cao h,
hệ trục Oxy, trong đó trục x song song với cạnh đáy b
và đi qua trọng tâm C của tam giác (hình 2.5). Để tính
Jx ta lấy vi phân diện tích dF là dải phân tố song song
với trục x, có chiều dày dy, với:
dF = by.dy
Trongđó : 

 

    
 
 y 3
2h
h
b b
h
h y 3
2
b
b
y
y .
Thay vào, ta có: dF = bydy = y dy h
h
b 

 

  3
2
Áp dụng công thức 2.5 ta được :
3
2h
3
h
4
2 3
3
2h
3
F h
2
x 4
y y 9
2h
h
b
y y dy 3
2h
h
b J y dF  







    
 

     
 36
bh J
3
x  (2.13)
Đó là công thức tính mômen quán tính của hình tam giác đối
với trục trung tâm x song song với cạnh đáy b.
c. Hình tròn:
y
x
O
y dy
b
h/2 h/2
h
dF
H×nh 2.4
x
C
y
dF
dy
2h/3
h
h/3
b
by
H×nh 2.5
y
x
O 
d
d
dF
H×nh 2.6
D
Để đơn giản, ta tính mômen quán tính của hình tròn đối với điểm C (chính là trọng tâm
mặt cắt), theo định nghĩa :  
F
2
0 J ρ dF
Trong đó chọn dF là hình được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính: , ( + d) và hai
đường bán kính lập với trục x góc  , (  d ) như hình 2.6.
Ta có: dF  ρ.d.dρ  ρ.dρ.d
J ρ .ρdρ.d
R
0

0
2
0    
Khai triển biểu thức tích phân, ta có:
4
4
0 0,1D 32
πD J   (2.14)
Vì tính đối xứng của hình tròn, ta có Jx = Jy.
Ta có: J0 = Jx + Jy
Suy ra: Jx = Jy= 4
4 4
0,05
64 4
D D R     (2.15)
Do đó, khi trục trung tâm y thẳng góc với trục x, ta có: Jx = Jy.
Vậy theo công thức (4.9): J0 = Jx + Jy = 2Jx
J0 = 4
4 4
0,1
2 32
D R D     (2.16)
(2.16) là công thức tính mômen quán tính độc cực của hình tròn.
d. Hình vành khăn
Mômen quán tính của hình vành khăn đối với trục trung tâm bất kỳ x của hình bằng
hiệu của mômen quán tính của hình tròn có đường kính lớn với mômen quán tính của hình
tròn có đường kính nhỏ, tức là:
Jx=
4 4
4 4 R  r    
(1 η ) 64
π D (1 η ) 4
π R J 4
4
4
4
x      
) 0,05 D (1 η 4 4     (2.17)
Trong đó:  là tỷ số giữa hai bán kính hoặc tỷ số giữa hai đường
kính nhỏ và lớn:
D
d
R
r
  
Bằng phương pháp tương tự như trên, ta chứng minh được công
thức tính mômen độc cực của hình vành khăn đối với trọng tâm của
hình:
J0 = (1 ) 0,1 (1 ) 32 (1 ) 2
4 4
4
4
4
 



     
    R D
(2.18)
2.3.4. Mômen quán tính với các trục song song
Ở đây ta sẽ nghiên cứu cách tính mômen quán tính của hình phẳng đối với trục song
song với trục trung tâm của hình, mà đối với trục đó, ta đã biết trước mômen quán tính của
hình. Xét một hình phẳng có diện tích F. Hệ trục Ox, Oy vuông góc đi qua trọng tâm O của
hình.
D=2R
H×nh 2.7
O
x
y
d=2r
Hệ trục O1x1y1 song song với hệ trục Oxy. Khoảng cách giữa các trục song song x và x1 là
a, giữa y và y1 là b. Xét vi phân diện tích dF có toạ độ x, y và x1, y1 (hình 2.8). Các toạ độ
có liên hệ sau:




 
 
y y a
x x b
1
1 (2.19)
Theo công thức định nghĩa của mômen quán
tính (2.5) đối với hệ trục O1x1y1 ta có:
 
F
2
x 1 J y dF 1 (2.20)
Thay y1 bằng biểu thức của nó trong (2.20) và lấy tích phân
:
      
F F
2 2 2 J x (y a) dF (y a 2ay)dF 1 (2.21)
    
F FF
2 2
x J y dF a dF 2a ydF 1
(2.22) Căn cứ vào công thức (2.21) và (2.22), ta có thể viết:
x
2
y x J J a F 2aS 1    (2.23)
Vì trục x là trục trung tâm, do đó Sx = 0, do đó :
J J a F
2
x1  x  (2.24)
Với phương pháp tương tự như trên, ta sẽ được:
J J b F
2
y y 1   (2.25)

  • Chú ý Các công thức (2.24) và (2.25) chỉ dùng được khi trục x và y đi qua trọng tâm của
    hình.
    Từ (2.24) và (2.25) ta có thể phát biểu như sau:“Mô men quán tính của một hình phẳng đối
    với một trục bất kỳ bằng mô men quán tính của hình đối với trục trung tâm song song với
    nó cộng với tích của diện tích F của hình với bình phương khoảng cách hai trục”.
    Các công thức (2.24) và (2.25) gọi là công thức chuyển trục song song Chúng rất tiện
    dùng để tính mômen quán tính của các hình phức tạp do bởi nhiều hình đơn giản (chữ nhật,
    tròn…) ghép lại.
  • Chú ý: Ta thấy 1 x J luôn luôn lớn hơn Jx vì số hạng thứ hai trong công thức bao giờ cũng mang dấu dương, cho nên đối với một hệ trục song song mômen quán tính của hình phẳng đối với trục trung tâm là mômen quán tính nhỏ nhất.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *